Рубрика: Дифференциальные уравнения с особой правой частью

Дифференциальные уравнения с особой правой частью

Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определенную на всех и состоящую из степенной, экспоненциальной и тригонометрической функций. Его соответствующее общее решение: определено в области , t. Построение фундаментальной системы решений лодо осуществляется методом Эйлера, который заключается в нахождении частичного решения лодо в виде , где - некоторое число, которое нужно определить.

Подставляя эту функцию в уравнение 2. Мы различаем три случая. Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через . Тогда фундаментальная система решений будет иметь вид: , а общее решение имеет вид:. Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные корни.

Если это комплексный корень характеристического уравнения. Тогда он также будет корнем уравнения. Этим двум корням соответствуют два линейно независимых частных решения:. Записав линейно независимые частичные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений.

Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения 2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Пусть это вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствуют линейно независимые частные решения вида , и в формуле для общего решения имеем выражение вида . Если это комплексный корень характеристического уравнения кратности , то ему и его сопряженному корню той же кратности соответствуют линейно независимые частные решения вида : В формуле общего решения этим корням соответствует выражение вида:

.

Записав линейно независимые частичные решения вышеприведенной формы, соответствующие всем простым и кратным действительным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получаем фундаментальную систему решений.


Навигация

comments

  1. Tushicage :

    По моему мнению Вы не правы. Я уверен. Давайте обсудим. Пишите мне в PM.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *