Рубрика: Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

В самом деле, если функция имеет конечный предел при , то существует проколотая окрестность из , на которой она ограничена см. Если функция имеет ненулевой предел , то существует проколотая окрестность , в которой она ограничена снизу абсолютным числом : at. Тогда, на основании вышеизложенных теорем, существуют пределы A.

Тогда.

Свойство доказано. Доказательство Для доказательства этой теоремы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также воспользуемся свойством бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Если функция бесконечно мала при :. И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки : в.

Так как существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть существует пересечение окрестностей точки и . Тогда функции и определены на нем. Пусть существует произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности точки :.

Тогда определены последовательности и . Более того, последовательность ограничена: , и последовательность бесконечно мала:. Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью:.

.

Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,. Теорема доказана. Доказательство Для доказательства теоремы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Мы также воспользуемся свойством бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой последовательности является бесконечно большой последовательностью. Пусть функция бесконечно велика при :. Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки, в которой функция определена.

При этом последовательность конечна: , а последовательность бесконечно велика:. Так как сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой последовательности является бесконечно большой последовательностью, то. Доказательство Для доказательства этого свойства мы воспользуемся определением предела функции, данным Гейне. Мы также воспользуемся свойством бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой последовательности и последовательности, ограниченной снизу, является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом на некоторой проколотой окрестности точки : at. Так как существует предел функции при , то существует проколотая окрестность точки , в которой функция определена.

Последовательность ограничена снизу: , и последовательность бесконечно велика:. Так как произведение бесконечно большой последовательности и последовательности, ограниченной снизу, является бесконечно большой последовательностью, то. Согласно определению предела последовательности по Гейне, . Доказательство Для доказательства воспользуемся определением предела функции по Гейне.

Мы также будем использовать свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому коэффициент деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью. Пусть функция бесконечно велика при , и функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки : при . Поскольку функция бесконечно велика, существует проколотая окрестность точки , в которой она определена и не обращается в нуль: at.

А последовательность ограничена: , и последовательность бесконечно велика с ненулевыми членами: ,. Так как коэффициент деления конечной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то. Мы также будем использовать свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому коэффициент деления конечной последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Если функция бесконечно мала при , и функция ограничена снизу положительным числом, то на некоторой проколотой окрестности точки : при . По условию, существует проколотая окрестность точки , в которой функция определена и не обращается в нуль: at.

И и. И последовательность ограничена снизу: , и последовательность бесконечно мала с ненулевыми членами: ,.

Так как коэффициент деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то. Воспользуемся также свойством неравенства бесконечно больших последовательностей. Пусть существует проколотая окрестность точки , на которой при. Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к.

Тогда, начиная с некоторого числа N, элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности: at . Тогда at. Согласно определению предела функции по Гейне, . Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей, . Так как последовательность произвольна и сходится к , то согласно определению предела функции по Гейне, . Использованная литература: Л. Курс математического анализа.

Том 1. Москва, Свойства бесконечно малых функций: 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой при функцией. Свойства бесконечно больших функций: 1 Сумма бесконечно больших функций at является бесконечно большой функцией at. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Если функция бесконечно мала при , то она бесконечно велика при . И наоборот, если функция бесконечно велика при , то функция бесконечно мала при . <Отношение двух бесконечно малых обычно обозначается символом , двух бесконечно больших - символом . Оба отношения являются неопределенными в том смысле, что их предел может существовать или не существовать, может быть равен некоторому числу или может быть бесконечным, в зависимости от вида конкретных функций, входящих в неопределенные выражения. Помимо выражений неопределенного типа и неопределенности, следующие выражения являются неопределенными: - разность бесконечно больших одного знака; - произведение бесконечно малого на бесконечно большое; - экспоненциально ступенчатая функция, основание которой стремится к 1, а экспонента стремится к ; - экспоненциально ступенчатая функция, основание которой бесконечно мало, а экспонента бесконечно велика; - экспоненциально ступенчатая функция, основание и экспонента которой бесконечно малы; - экспоненциально ступенчатая функция, основание которой бесконечно велико.

Говорят, что существует неопределенность соответствующего вида. Вычисление предела в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выражение под знаком предела преобразуется к форме, не содержащей неопределенности. При вычислении пределов используются свойства пределов, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Рассмотрим примеры вычисления различных пределов. В данном случае у нас была неопределенность вида , которую мы решили с помощью умножения и уменьшения на общий множитель.

В данном примере неопределенность типа решалась путем деления числителя и знаменателя дроби на большую степень. Замечательные пределы Доказательство. Рассмотрим единичную окружность рис.

.

Навигация

comments

  1. Shakacage :

    Абсолютно с Вами согласен. В этом что-то есть и идея хорошая, согласен с Вами.

  2. Nikolkree :

    Я удалил это сообщение

  3. Majin :

    Ух ты, мне понравилось!

  4. Zolosho :

    Могу предложить зайти на сайт, где есть много информации на интересующую Вас тему.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *